摘要 提高凸輪的加工質量是目前弧面分度凸輪研究的一個重點。但無論是其靜態幾何量測量，還是加工誤差分析，首先要解決的是凸輪理論輪廓面的計算。本文在對弧面分度凸輪輪廓面詳盡分析的基礎上，論述了弧面分度凸輪理論輪廓面的計算及以 Visual C ＋＋ 5.0 開發的面向凸輪加工精度分析的理論輪廓面計算軟件包。該軟件包可應用于凸輪 CAD 、 CAM 、 CAQ 等子系統。
1 引言
弧面凸輪分度機構被評價為目前最理想的高速精密分度機構。我國對弧面分度凸輪的研究始于 70 年代末，少數廠家已具備小批量生產該凸輪機構的能力。但從總體上看，要提高我國的弧面分度凸輪機構的制造能力，還有許多方面的工作要做。如設計和開發標準化系列產品，以求更大范圍地滿足國內外市場的需求；開發優化實用的 CAD/CAM 系統，以期縮短設計周期，提高設計效率；研究切實可行的檢測原理和方法，以便檢驗和指導制造；加強機構的動力學分析及研究，最終使該機構的性能得以充分地發揮，等等。
本文在現有研究成果的基礎上，以開發面向凸輪加工精度分析系統為目標，研究了弧面分度凸輪理論輪廓面的計算，開發了弧面分度凸輪理論輪廓面計算的軟件包。該軟件包以 Visual C++5.0 為開發工具，具有面向對象技術軟件的繼承性和封裝性，界面友好，可應用于凸輪 CAD 、 CAM 、 CAQ 等子系統。 7
2 凸輪輪廓面方程
2.1 弧面分度凸輪輪廓面特征
弧面分度凸輪機構 ( 見圖 1a) 類似弧面蝸桿傳動，凸輪為凹圓弧回轉體，與蝸桿一樣可制成單頭、雙頭或多頭，且凸脊的旋向也與蝸桿旋向定義相同，分為左旋和右旋。凸輪以其定位段形式的差異，又分為 A 型 ( 圖 1b) 和 B 型 (1c) 兩種結構類型， A 型定位段是凸脊，有兩個滾子跨夾于凸脊上， B 型定位段是凹槽，有一個滾子在定位段槽中。此外，無論哪種結構的凸輪，其凸脊均有左右兩個側面。根據不同的旋向一側為受力側，推動分度盤轉動，另一側為幾何定位側，局部區域與滾子之間可以有一定間隙。
  
(a) (b) (c)
圖 1 弧面分度凸輪輪廓面特征
(a) 機構簡圖 (b)A 型結構 (c)B 型結構
不同于蝸桿的是，凸輪的輪廓為變升程的螺旋帶，其加工需要專用數控機床，屬高技術產品。加工時，刀具相當于分度盤上的滾子，機床只需控制刀具的中心軌跡按照分度盤相對于凸輪的運動規律轉動即可。但由于凸輪的輪廓面為一復雜的不可展空間曲面，目前對其廓面質量的最佳檢測手段就是運用三坐標測量機，因此，凸輪輪廓面坐標及廓面法向量的計算便成為質量保證體系首要解決的問題。
2.2 輪廓面方程的建立
弧面分度凸輪的輪廓面方程，在已有文獻中存在多種表面形式 ［ 1 ～ 4 ］ 。為便于與通用設計、制造形式相統一，適于三坐標測量，本文采用常規符號，在考慮測量坐標系的前提下，對輪廓面方程的建立如下：
如圖 1a 所示機構形式，其坐標系建立見圖 2 。定義動坐標系 S f （ O f － X f Y f Z f ）與分度盤固結，動坐標系 S c （ O c － X c Y c Z c ）與凸輪固結；定義參考坐標系，即定坐標系 S 1 （ O 1 － X 1 Y 1 Z 1 ），其 Z 軸與分度盤 Z 軸重合，稱為分度盤參考坐標系，定坐標系 S 2 （ O 2 － X 2 Y 2 Z 2 ）的 Z 軸與凸輪 Z 軸重合，稱為凸輪參考坐標系。凸輪以 ω 2 勻速轉動，按右手定則，其旋向為正。分度盤以變角速度 ω 1 轉動，同樣按右手定則，左旋凸輪 ω 1 為正，右旋凸輪 ω 1 為負。 |
 
圖 2 輪廓面方程的建立
(a) 左旋凸輪 (b) 右旋凸輪
機構基本結構尺寸：中心距 C ，滾子半徑 r f ，分度盤回轉半徑 l f ，凸輪頭數 n ，分度角 θ h ，滾子數 z ，分度盤轉位角 θ d ， θ d ＝ 2 nπ ／ z 。
以 A 型左旋凸輪為例，設凸輪以 ω 2 轉過 θ 2 ，分度盤以 ω 1 轉過 θ 1 ，滾子上高度為 δ f 的點矢量為 R f （ X f ， Y f ， Z f ）。根據空間嚙合原理：兩曲面在共軛點處重合并相切，其相對速度垂直于該點的公法線，可推得嚙合線方程。再將嚙合線上的點 ( 共軛點 ) R f 在 S f 坐標系的坐標轉換到 S c 坐標系中，即可得到弧面分度凸輪輪廓面方程： 8
 （ 1 ）
以 Z 1 為軸， S f 坐標系順時針旋轉 θ 1 角，得 R f 在 S 1 坐標系中的坐標：
R 1 ＝ E Z 1 θ 1 R f （ 2 ）
S 1 平移 C ( C ， 0 ， 0) ，再以 X 2 為軸， S 1 坐標系順時針旋轉 90° 角，得 R 1 在 S 2 坐標系中的坐標：
R 2 ＝ E X 2 （ 90° ） （ R 1 － C ） （ 3 ）
以 Z 2 為軸， S 2 坐標系逆時針旋轉 θ 2 角，得 R 2 在 S c 坐標系中的坐標：
R c ＝ E Z 2 （－ θ 2 ） R 2 （ 4 ）
以上變換表達為：
R C ＝ E Z 2 （－ θ 2 ） E X 2 （ 90° ） （ E Z 1 θ 1 R f － C ） （ 5 ）
其中：
將式 (1) 代入式 (5) ，得
 （ 6 ）
對于右旋凸輪， ω 2 方向不變， ω 1 沿反向 — 順向時針方向轉動，則
同理，可得右旋凸輪廓面方程。加入符號變量 F ＝｛ 1 ，－ 1 ｝，（ 1 為左旋， -1 為右旋 ) ，輪廓面方程表示為：
 （ 7 ）
其嚙合線方程仍以左旋推導，共軛矢量 R f 及 R c 分別在 S 1 、 S 2 坐標系中的矢量為 R 1 、 R 2 ，對其求一階導數得其速度：
 （ 8 ）
R 1 與 R 2 在嚙合點的相對滑動速度表示在坐標系 S 1 中，得
 （ 9 ）
 （ 10 ）
將式 (8) 代入式 (10) ，得
對比式 (9) ，得
 （ 11 ）
在 S f 坐標系中
 （ 12 ）
將式 (5) 代入式 (12) ，得
 （ 13 ）
根據空間嚙合原理 
 （ 14 ）
同理，可得右旋凸輪嚙合線方程。加入符號變量 F ＝｛ 1 ， 1 ｝，嚙合線方程表示為：
 （ 15 ）
2.3 法向量值
由于通常曲面的外法線方向規定為正向，所以輪廓面的法向量可由
經坐標變換得到：
 （ 16 ）
3 從動件運動規律的計算
3.1 簡諧梯形運動規律通式
從動件運動規律在分度運動段多選用修正正弦、修正梯形等簡諧梯形組合運動規律。其兼有簡諧運動規律在兩端連續及梯形運動規律最大加速度低的優點。且可以通過優化手段，得到滿足特定要求的優化通用凸輪運動曲線。其運動規律的位移曲線通式為：
 （ 17 ）
簡諧梯形運動規律通式的應用，參見文獻［ 6 ］。軟件收錄了常用的 16 種運動曲線，且可隨時添加新的運動曲線。
3.2 從動件運動規律
凸輪輪廓面計算的關鍵是計算每一凸輪轉角 θ 2 對應的從動件角位移 θ 1 和角速度 ω 1 。 θ 2 － θ 1 見圖 4 。圖示為一個凸輪回轉周期從動盤的角位移曲線。該曲線分為起始段、停歇 Ⅰ 段、分度段、停歇 Ⅱ 段和結束段。通常凸輪為對稱的，其 α ＝ β 。在非停歇段，曲線對應分度運動段運動規律 —— 簡諧梯形運動規律，該曲線表示為 f s （ T ）＝ s × θ d 。各段曲線計算公式見下表。對 B 型凸輪，其 θ 1 只需在現有值上加 θ d ／ 2 即可。
表
段落名稱 |
區間寬度 |
θ 2 |
T( 無因次時間 ) |
θ 1 |
起始段 |
ｓ α |
［－（ α ＋ γ ＋ θ h /2 ），－（ γ ＋ θ h /2 ）］ |
［（ θ h － α ） / θ h ， 1 ］ |
|
停歇 Ⅰ 段 |
γ ＝ 360° － θ h |
［－（ γ ＋ θ h /2 ），－ θ h /2 ］ |
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|
分度段 |
θ h |
［ θ h /2 ，－ θ h /2 ］ |
［ 0 ， 1 ］ |
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停歇 Ⅱ 段 |
γ ＝ 360° － θ h |
［ θ h /2 ，（ γ ＋ θ h /2 ）］ |
|
|
結束段 |
β |
［ γ ＋ θ h /2 ， γ ＋ θ h /2 ＋ β ］ |
［ 0 ， β / θ h ］ |
|
圖 3 θ 1 － θ 2 關系圖
4 程序實現
弧面分度凸輪輪廓面的計算程序是以 VisualC++5.0 為工具開發的。輪廓面計算軟件的功能模塊組成見圖 4 。該程序被 CAD ／ CAM 系統利用，如運動規律選擇功能。但主要功能是用于凸輪的檢測及加工精度分析。
圖 4 程序功能模塊
程序核心類及其成員函數組成有：運動曲線類 (Ccurve) 為基類，成員函數有 calculateA,calculateV,calculateS,calculateJ; 派生類為弧面凸輪從動件運動規律類 (Cfollow) 其成員函數有 calculateTht1,calculateThtV1,calculateBeta,calculatePrfl, 等等。程序界面及運行結果示例如圖 5 所示。
 
(a) 繪輪廓圖對話框 (b) 輪廓面嚙合線框圖
圖 5 運行實例
5 結束語
正確便捷地計算理論輪廓面值，是弧面分度凸輪檢測和誤差分析的關鍵環節。在建立適于加工和測量的輪廓面方程的基礎上開發的輪廓面計算軟件，其操作簡便，界面友好，可計算任一側面按任意網格密度化分的輪廓面離散點，并以圖形和數據文件形式輸出。現已在廓面檢測及分析工作中應用，證明該程序正確、可靠且實用。 |
